Родился в Ростове-на-Дону. В 1916 году вместе с отцом переехал в Москву. В школьные годы занимался в драматическом кружке. В 1926 году начал учёбу и работу в театре-студии Юрия Завадского на Сретенке. В 1931 году по конкурсу поступил в дикторы Всесоюзного радио:
Было страшно остаться одному в большой таинственной комнате, именуемой студией, и начать говорить в небольшой металлический предмет, похожий на перечницу... И оттого, как ты всё положенное тебе проговоришь, решится твоя дикторская судьба.
До сих пор, спустя почти сорок лет, помню текст, с которого я начал вещать. Но помню также, что я не пытался вдуматься в суть материала. Вероятно, за скупыми словами были судьбы людей, события, но для меня в тот момент весь текст был комбинацией букв, которую надо произнести дикционно-чётко, а материал — логически точно. Читал я не в эфир, а для приёмной комиссии, которая находясь в аппаратной, прослушивала вновь поступающих дикторов.
<...> Я проработал диктором сравнительно недолго: всё труднее и труднее становилось совмещать дикторство с театром. Но оставить радио не могу и часто выступаю то в детских, то в разных других передачах. А своё дикторское прошлое я всегда вспоминаю с благодарностью к старшим товарищам и ощущаю его как некий университет.
В 1936 году Плятт вместе с театром Завадского переехал в Ростов-на-Дону, став актёром Ростовского драматического театра имени Горького. В 1938 году вернулся в Москву и до 1941 года работал в Театре имени Ленинского комсомола.
С 1939 года снимался в кино. Проработав в Московском театре драмы с 1941 по 1943 годы, он вернулся к Завадскому и до конца жизни служил в Театре имени Моссовета, выступая в самых разных по масштабу и жанрам ролях. В 1980-е годы, в связи с перенесённой тяжёлой травмой, реже выходил на сценические подмостки.
Плятт вёл передачи на телевидении, участвовал в дубляже фильмов, в озвучивании мультфильмов. Он много лет сотрудничал с детской и литературно-драматическими редакциями Всесоюзного радио. Выступал в концертах, на юбилейных и творческих вечерах, встречах со зрителями.
Был женат на дикторе ВР Людмиле Маратовой. Умер в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.
Указом Президиума Верховного Совета СССР 4 апреля 1961 года присвоено почётное звание «Народный артист СССР». Герой Социалистического Труда (1989), лауреат Государственной премии СССР (1982). Кавалер двух орденов Ленина (1978, 1989).